Matematicas 7

Tenemos entonces que Bertrand Russell establecio muchos de los fundamentos de la logica matematica que venian haciendo falta para continuar el desarrollo posterior sobre bases bien estructuradas.

Antes de Russell el matematico George Cantor había retado los limites de la concepción de lo paradojico al abordar el tema de los conjuntos infinitos. Cantor encontro que cuando se internaba en los terrenos de los conjuntos infinitos algunos postulados logico matematicos conocidos hasta entonces, se desvanecían o distorsionaban generando conclusiones contradictorias o absurdas.

Conviniendo que si una secuencia coherente y logica nos lleva a una contradicción, entonces hemos roto un axioma o postulado, Cantor dedujo que deberia haber principios logico matematicos circunscritos a los conjuntos infinitos que no aplicaban a otros elementos del universo matematico. Algo similar al sastre que hace trajes.

Luego de sumergirse en el mundo de los conjuntos infinitos Cantor emergio con algunas conclusiones que desafiaron su mente, llevandolo a retirarse al final de su vida a un lugar de atención siquiatrica.

Para poder entender como es que llego a un lugar como ese, debemos tomar algunos ejemplos de lo que encontro.

Uno de los primeros resultados que lo desconcertaron fue que en los conjuntos infinitos, una parte es igual al todo. Aquí si que 1=2, por lo tanto rompimos una regla, nos brincamos una barda o nos metimos en otra realidad, matematica por supuesto.

Las matematicas, aun y cuando modelan nuestro mundo real, en ocasiones siguen su propio derrotero y se aventuran en mundos paralelos que aunque no tienen parangon aparente en el mundo fisico, no necesariamente son de otro universo.

Recordemos que algunas culturas no tenian representación para el cero, al ser este ausencia de cantidad, no tenia simil en el mundo real hasta que se modelaron las operaciones matematicas como resultados de las operaciones comerciales, resultando en cantidades nulas al quedar los inventarios sin materiales que contar.

De aquí que Cantor, siguiendo su propia logica estructural dentro de los confines matematicos convino en enunciar postulados para los conjuntos infinitos. De esa manera sobrellevaria los resultados que estaba obteniendo de sus investigaciones teoricas sobre el mundo de los conjuntos infinitos.

Uno de los principios es que ciertos conjuntos infinitos se pueden dividir en subconjuntos con el mismo numero de elementos, infinito por supuesto. Esto se deriva de la tendencia del hombre a contar y enumerar las cosas. Por lo que la igualdad se refiere mas que a la cantidad de elementos del conjunto y subconjunto infinito, al metodo de contar el numero de elementos en dichos conjuntos.

Es decir que si se tiene un metodo de conteo que pueda describir el numero de elementos de dos conjuntos infinitos, de manera reciproca y biunivoca entonces tienen la misma cantidad infinita de elementos.

En terminos cotidianos, si para cada elemento del conjunta infinito A podemos encontrarle un elemento del conjunto infinito B de manera unica y viceversa, entonces el conjunto A y el B tienen el mismo numero de elementos.

Si se fijan no decimos cuantos elementos tienen porque son infinitos y para contarlos necesitaríamos vivir infinitamente.

Para darnos una idea de lo que encierra este postulado, pensemos en la cantidad de numeros naturales que hay después del cero, es una cantidad infinita. Luego pensemos en la cantidad de numeros menores que el cero, tambien es infinita, al unir los numeros naturales y los menores que el cero tenemos los numeros enteros. La relacion que debemos construir entre ellos es que para cada numero natural le buscamos un entero, asi hasta el infinito.

Por ejemplo, si tomamos el uno natural, lo emparejamos con el uno entero, el dos natural con el menos uno entero, el 3 natural con el dos entero, el 4 natural con el menos dos entero y asi sucesivamente, de tal manera que para cada numero natural habra un entero unico con el cual relacionarlo y para cada numero entero, habra un numero natural unico con el cual esta relacionado.

Como esta relacion asi construida se puede llevar hasta el infinito, si tuvieramos tiempo, podriamos cubrir los dos conjuntos dandonos cuenta que tienen la misma cantidad de elementos. Claro que por la propia naturaleza de los conjuntos infinitos y de los seres humanos finitos, eso no es posible, pero teoricamente asi se haria.

Cantor luego descubrio que hay conjuntos infinitos con una cantidad de elementos mayor que otros conjuntos infinitos.

Saludos